Calcul de l'inductance de circuit électrique

introduction au calcul

Une boucle B1 de courant i₁ crée un flux qui la traverse. Si elle est a proximité d'une autre boucle B2, une partie du flux Φ₁ traverse B2. Apparait alors un courant i₂ qui dépend de i₁, de la distance r entre les boucles, de leurs formes, .. Ce courant i₂ crée un flux Φ₂. Une partie du flux Φ₂ traverse la première boucle B1. Donc celle-ci est traversée par 2 flux Φ₁ et Φ₂. Le flux Φ₁ dépend de l'inductance propre L1 de la boucle B1 et la portion de flux issu de la boucle B2 dépend de l'inductance L2 mais aussi de la forme est de l'éloignement de cette seconde boucle. On introduit alors un coefficient M₁₂ appelé inductance mutuelle. Deux boucles en série très éloignées présentent une inductance qui est la somme des inductances propres à chaque boucle. Lorsque les boucles sont proches, l'interaction entre elles fait intervenir l'inductance mutuelle.

la formule de Neumann

L’inductance mutuelle peut être calculée à l’aide de la formule de Neumann. Ici ds et ds' sont des vecteurs segments élémentaires des boucles et r est la distance qui les séparent. a et A sont les rayons des boucles coaxiales occupant 2 plans parallèles distants de b.


Par exemple, dans le cas dans le cas de 2 spires coaxiales et placées dans 2 plans parallèles la formule de Neumann peut s’écrire comme suit. Cette intégrale classique peut écrite en passant par 2 intégrales elliptiques.

Encore une fois, en s'appuyant sur l'hypothèse de spires concentriques, on peut écrire la distance r qui sépare les 2 éléments ds et ds' en fonctions des rayons respectifs a, A et l'angle ε.
En effectuant les changements de variables d'intégration ci-contre, on peut écrire la formule de Neumann sont la forme donnée ci-dessous.

Cette intégrale classique peut être exprimée en passant par les fonctions K et E.
K et E sont des intégrales elliptiques complètes respectivement de premières et seconde espèce.

A ce stade, M₁₂ a encore une forme non approchée. On introduit une varaible k. Il nous reste a

K l'intégrale elliptique complète de première espèce

E l'intégrale elliptique complète de seconde espèce

Dans le cas d'une bobines composée de n spires et en appliquant le principe de superposition, on peut sommer les M_ij comme montrer ci-contre. Le nombre de termes de la somme n'est pas n² mais en 2n - 1.