Bobines monocouche

(Joseph-Henri Lévy)
La détermination de l'inductance d'une bobine peut être nécessaire pour la restauration des TSF ou pour la compréhension de sa conception. Il n'existe pas de formules analytiques donnant la valeur exacte de l'inductance. C’est pourquoi au début du 20ème siècle, les premiers outils de calculs approchés basés sur des tables ou des formules empiriques ont vu le jour et donnaient des résultats satisfaisants pour les besoins courants.

La seule formule de calcul de l’inductance d’une bobine, sous forme analytique, s’applique à un solénoïde de longueur $l$ « quasi-infinie », de diamètre $D$ et de densité linéique de spires $n$ (voir Eq.1). Elle peut prendre la forme : $$L(µH)=\frac{ (\pi n D)^2 }{1000} l \quad \quad \quad (1)$$ Les spires peuvent être jointives ou non. $D$ et $n$ sont en unités CGS, donc en centimètres. La relation (1) donne $L$ en micro-Henrys (µH).

une méthode tabulaire - formule de Nagaoka

un portrait du physicien Hontaro Nagaoka
fig.1 Hontaro Nagaoka
Dans le cas d’une longueur finie, quelques millimètres ou centimètres pour les TSF, des formules de calculs approchés peuvent prendre la forme : $$L(µH)=K \frac{ (\pi n D)^2 }{1000} l \quad \quad \quad \quad (2)$$ Le paramètre $K$ dépend de la « géométrie » de la bobine exprimée par le rapport $D/l$. Le savant japonais Hontaro Nagaoka a publié au début du XXème siècle une table permettant de déterminer $K$ en fonction du rapport $D/l$.

Une autre formule plus pratique d'utilisation et de même précision utilise une constante $K1$ dérivée de $K$. Elle dépend de la même façon de du rapport $D/l$. $$L(µH)=K_1 \frac{N^2 D}{100} \quad \quad \quad \quad (3)$$ Un exemple de calcul ici :
 
image d'une bobine
fig.2 Bobine
Exemple :
Calculons l'inductance L d'une bobine de 100 spires jointives bobinées sur un mandrin de
  • diamètre D = 2,6 cm
  • longueur l = 2,6 cm
La bobine présente un rapport D/l = 1 et donc K1 = 0.67945. Donc le coefficient L sera 0,67945 x 2,6 x 2,62/100
soit L ≈ 177 µH .
Cette valeur et les dimensions de la bobine correspondent aux bobines d'accord rencontrées dans la gamme des petites ondes (PO).

Pour information $K_1$ est déduit de $K$ par la relation : $ \displaystyle K_1 = \frac{\pi^2}{10}(\frac{D}{l}) K_{(D/l)}$ avec $D$ et $l$ en centimètres.
 
Une table des coefficients de Nagaoka
D/lKK1
0.001.000000.00000
0.010.995770.00983
0.020.991560.01957
0.030.987380.02924
0.040.983220.03882
0.050.979090.04832
0.060.974990.05774
0.070.970900.06708
0.080.966850.07634
0.090.962810.08552
0.100.958810.09463
0.110.954820.10366
0.120.950870.11262
0.130.946930.12150
0.140.943030.13030
0.150.939140.13903
0.160.935280.14769
0.170.931450.15628
0.180.927640.16480
0.190.923850.17324
0.200.920090.18162
0.210.916360.18993
0.220.912640.19816
0.230.908950.20633
0.240.905290.21444
D/lKK1
0.250.901650.22247
0.260.898030.23044
0.270.894440.23835
0.280.890870.24619
0.290.887320.25397
0.300.883800.26168
0.310.880300.26934
0.320.876830.27693
0.330.873380.28446
0.340.869950.29193
0.350.866540.29933
0.360.863160.30669
0.370.859800.31398
0.380.856460.32121
0.390.853150.32839
0.400.849850.33551
0.410.846580.34257
0.420.843340.34958
0.430.840110.35654
0.440.836910.36344
0.450.833720.37028
0.460.830560.37708
0.470.827420.38382
0.480.824310.39051
0.490.821210.39715
D/lKK1
0.500.818140.40373
0.510.815080.41027
0.520.812050.41676
0.530.809040.42320
0.540.806050.42959
0.550.803080.43593
0.560.800120.44223
0.570.797190.44848
0.580.794280.45468
0.590.791390.46083
0.600.788520.46695
0.610.785670.47301
0.620.782840.47903
0.630.780030.48501
0.640.777240.49095
0.650.774470.49684
0.660.771710.50269
0.670.768980.50850
0.680.766260.51426
0.690.763560.51999
0.700.760890.52567
0.710.758220.53132
0.720.755580.53693
0.730.752960.54249
0.740.750350.54802
D/lKK1
0.750.747760.55351
0.760.745190.55896
0.770.742640.56437
0.780.740100.56975
0.790.737580.57509
0.800.735080.58040
0.810.732590.58566
0.820.730130.59090
0.830.727670.59609
0.840.725240.60126
0.850.722820.60639
0.860.720420.61148
0.870.718030.61654
0.880.715660.62157
0.890.713310.62657
0.900.710970.63153
0.910.708650.63646
0.920.706340.64136
0.930.704050.64623
0.940.701770.65106
0.950.699510.65587
0.960.697260.66064
0.970.695030.66539
0.980.692810.67010
0.990.690610.67479
D/lKK1
1.000.688420.67945
1.050.677700.70230
1.100.667310.72447
1.150.657260.74600
1.200.647530.76690
1.250.638090.78722
1.300.628950.80697
1.350.620090.82620
1.400.611490.84492
1.450.603140.86316
1.500.595050.88093
1.550.587180.89826
1.600.579540.91518
1.650.572120.93169
1.700.564900.94781
1.750.557880.96357
1.800.551060.97897
1.850.544410.99403
1.900.537951.00877
1.950.531651.02319
2.000.525511.03732
2.100.513701.06471
2.200.502471.09102
2.300.491781.11635
2.400.481591.14075
D/lKK1
2.500.471861.16428
2.600.462571.18701
2.700.453691.20898
2.800.445181.23024
2.900.437021.25084
3.000.429201.27081
3.100.421691.29018
3.200.414471.30900
3.300.407521.32730
3.400.400841.34509
3.500.394401.36241
3.600.388191.37927
3.700.382201.39571
3.800.376421.41175
3.900.370831.42739
4.000.365431.44267
4.100.360211.45759
4.200.355151.47217
4.300.350251.48643
4.400.345501.50039
4.500.340901.51404
4.600.336431.52741
4.700.332101.54051
4.800.327891.55335
4.900.323801.56593
D/lKK1
5.000.319831.57828
5.500.301501.63665
6.000.285411.69013
6.500.271151.73947
7.000.258411.78526
7.500.246951.82797
8.000.236581.86798
8.500.227151.90562
9.000.218531.94114
9.500.210621.97478
10.000.203322.00672
10.500.196582.03713
11.000.190312.06613
11.500.184482.09387
12.000.179042.12043
12.500.173942.14593
13.000.169162.17043
13.500.164672.19402
14.000.160432.21676
14.500.156432.23870
15.000.152652.25991
15.500.149072.28043
16.000.145672.30030
16.500.142442.31956
17.000.139362.33825
D/lKK1
17.500.136432.35640
18.000.133632.37405
18.500.130962.39121
19.000.128412.40792
19.500.125962.42419
20.000.123612.44006
22.000.115132.49980
24.000.107842.55436
26.000.101502.60457
28.000.095932.65106
30.000.091002.69435
32.000.086592.73485
34.000.082632.77290
36.000.079052.80878
38.000.075802.84272
40.000.072822.87493
50.000.061103.01505
60.000.052853.12955
70.000.046703.22638
80.000.041923.31026
90.000.038103.38425
100.000.034963.45044
200.000.019693.88592
300.000.013984.14067
400.000.010954.32143

Abaque"

Pour les amateurs d'abaques, ce graphe donne $K$ en fonction dur rapport $D/l$.
Constante K

Pour ceux qui n'aime pas les méthodes tabulaires.

$$K = \displaystyle \frac{100}{\displaystyle \pi^2 (4 \frac {D}{l}+11)} \quad \quad (4)$$ fig.3 - Calcul approché de K
Erreur acceptable du calcul de K fig.4 Erreur acceptable du calcul de K
Pour ceux qui n'aiment pas cette approche tabulaire, il est possible d'approcher K par la relation de la fig.3 à condition d'accepter une marge d'erreur évaluée sur la fig.4
Par exemple pour un rapport D/l = 1, on retrouve K = 0.68.

Une formule empirique pour une bobine massée (multicouches)

formule pour une bobine multicouches
fig.5 Bobine multicouches
Une formule de calcul approché dans le cas d'une bobine massée ou multicouches.
$$\left\{\begin{array}{l} L_{µH}\ :\ \displaystyle \frac{10\pi N^2R_1^2 }{6R_1+9l+10(R_2-R_1)}\\ L\ :\ inductance\ en\ Henry\\ N\ :\ nombre\ total\ de\ spire\\ R_1\ :\ Rayon\ du\ mandrin\ (m)\\ R_2\ :\ Rayon\ ext\acute{e}rieur\ du\ bobinage\ (m)\\ l\ :\ longueur\ du\ bobinage\ (m))\\ R_2-R_1\ :\ est\ l'\acute{e}paisseur\ du\ bobinage \end{array}\right. $$

Sources et références

[1] Paul BERCHE, "Pratique et théorie de la TSF", Librairie de la Radio, Paris, 1937, revue par Roger RAFFIN, 1958.

[2] H. Nagaoka, Journal of the College of Science, Imperial University, Tokyo, Japan. Vol XXVII, Article 6, p1-33, 1909

[3] F. E. TERMAN, "Radio Engineer's Handbook", McGraw-Hill, New York, 1943.