Bobines monocouche

(Joseph-Henri Lévy)
La détermination de l'inductance d'une bobine peut être nécessaire pour la restauration des TSF ou pour la compréhension de sa conception. Il n'existe pas de formules analytiques donnant la valeur exacte de l'inductance. C’est pourquoi au début du 20ème siècle, les premiers outils de calculs approchés basés sur des tables ou des formules empiriques ont vu le jour et donnaient des résultats satisfaisants pour les besoins courants.
 

une méthode tabulaire - formule de Nagaoka

un portrait du physicien Hontaro Nagaoka
fig.1 Hontaro Nagaoka
La seule formule de calcul de l’inductance, sous forme analytique, d’une bobine s’applique à un solénoïde de longueur l « quasi-infinie », de diamètre D et de densité linéique de spires n (voir fig.1). Elle peut prendre la forme :
Biot-savart
Les spires peuvent être jointives ou non. En unités (CGS). La relation (1) donne L en micro-Henrys (µH). Dans le cas d’une longueur finie, quelques millimètres ou centimètres pour les TSF, des formules de calculs approchés peuvent prendre la forme :
formule nagaoka
Le paramètre K dépend de la « géométrie » de la bobine (D/l). Le savant japonais Hontaro Nagaoka a publié au début du XXème siècle une table permettant de déterminer K en fonction du rapport (D/l). Un exemple de calcul ici :
 
image d'une bobine
fig.2 Bobine
Exemple :
Calculons l'inductance L d'une bobine de 100 spires jointives bobinées sur un mandrin de
  • diamètre D = 2,6 cm
  • longueur l = 2,6 cm

La bobine présente un rapport D/l = 1 et donc K = 0,688. La densité de spires sera n = 100/2,6 = 38,5 spires/cm. Donc le coefficient L sera 0,688 x 2,6 x(38,5 x 3,14 x 2,6)2/1000
soit L ≈ 177 µH .
Cette valeur et les dimensions de la bobine correspondent aux bobines d'accord dans la gamme des petites ondes (PO).
 
Une table des coefficients de Nagaoka
D/lK
0.001.00000
0.010.99577
0.020.99156
0.030.98738
0.040.98322
0.050.97909
0.060.97499
0.070.97090
0.080.96685
0.090.96281
0.100.95881
0.110.95482
0.120.95087
0.130.94693
0.140.94303
0.150.93914
0.160.93528
0.170.93145
0.180.92764
0.190.92385
0.200.92009
0.210.91636
0.220.91264
0.230.90895
0.240.90529
D/lK
0.250.90165
0.260.89803
0.270.89444
0.280.89087
0.290.88732
0.300.88380
0.310.88030
0.320.87683
0.330.87338
0.340.86995
0.350.86654
0.360.86316
0.370.85980
0.380.85646
0.390.85315
0.400.84985
0.410.84658
0.420.84334
0.430.84011
0.440.83691
0.450.83372
0.460.83056
0.470.82742
0.480.82431
0.490.82121
D/lK
0.500.81814
0.510.81508
0.520.81205
0.530.80904
0.540.80605
0.550.80308
0.560.80012
0.570.79719
0.580.79428
0.590.79139
0.600.78852
0.610.78567
0.620.78284
0.630.78003
0.640.77724
0.650.77447
0.660.77171
0.670.76898
0.680.76626
0.690.76356
0.700.76089
0.710.75822
0.720.75558
0.730.75296
0.740.75035
D/lK
0.750.74776
0.760.74519
0.770.74264
0.780.74010
0.790.73758
0.800.73508
0.810.73259
0.820.73013
0.830.72767
0.840.72524
0.850.72282
0.860.72042
0.870.71803
0.880.71566
0.890.71331
0.900.71097
0.910.70865
0.920.70634
0.930.70405
0.940.70177
0.950.69951
0.960.69726
0.970.69503
0.980.69281
0.990.69061
D/lK
1.000.68842
1.050.67770
1.100.66731
1.150.65726
1.200.64753
1.250.63809
1.300.62895
1.350.62009
1.400.61149
1.450.60314
1.500.59505
1.550.58718
1.600.57954
1.650.57212
1.700.56490
1.750.55788
1.800.55106
1.850.54441
1.900.53795
1.950.53165
2.000.52551
2.100.51370
2.200.50247
2.300.49178
2.400.48159
D/lK
2.500.47186
2.600.46257
2.700.45369
2.800.44518
2.900.43702
3.000.42920
3.100.42169
3.200.41447
3.300.40752
3.400.40084
3.500.39440
3.600.38819
3.700.38220
3.800.37642
3.900.37083
4.000.36543
4.100.36021
4.200.35515
4.300.35025
4.400.34550
4.500.34090
4.600.33643
4.700.33210
4.800.32789
4.900.32380
D/lK
5.000.31983
5.500.30150
6.000.28541
6.500.27115
7.000.25841
7.500.24695
8.000.23658
8.500.22715
9.000.21853
9.500.21062
10.00.20332
10.50.19658
11.00.19031
11.50.18448
12.00.17904
12.50.17394
13.00.16916
13.50.16467
14.00.16043
14.50.15643
15.00.15265
15.50.14907
16.00.14567
16.50.14244
17.00.13936
D/lK
17.50.13643
18.00.13363
18.50.13096
19.00.12841
19.50.12596
20.00.12361
22.00.11513
24.00.10784
26.00.10150
28.00.09593
30.00.09100
32.00.08659
34.00.08263
36.00.07905
38.00.07580
40.00.07282
50.00.06110
60.00.05285
70.00.04670
80.00.04192
90.00.03810
1000.03496
2000.01969
3000.01398
4000.01095
 

Abaque

Pour les amateurs d'abaques
Constante K
 

Pour ce qui n'aime pas les méthodes tabulaires

Constante K calculee fig.3 - Calcul approché de K
Erreur acceptable du calcul de K fig.4 Erreur acceptable du calcul de K
Pour ceux qui n'aiment pas cette approche tabulaire, il est possible d'approcher K par la relation de la fig.3 à condition d'accepter une marge d'erreur évaluée sur la fig.4
Par exemple pour un rapport D/l = 1, on retrouve K = 0.68.
 

Une formule empirique pour une bobine massée (multicouches)

formule pour une bobine multicouches
fig.5 Bobine multicouches
Une formule de calcul approché dans le cas d'une bobine massée ou multicouches.
formule

Sources et références

[1] Paul BERCHE, "Pratique et théorie de la TSF", Librairie de la Radio, Paris, 1937, revue par Roger RAFFIN, 1958.

[2] H. Nagaoka, Journal of the College of Science, Imperial University, Tokyo, Japan. Vol XXVII, Article 6, p1-33, 1909

[3] F. E. TERMAN, "Radio Engineer's Handbook", McGraw-Hill, New York, 1943.